پیدا کردن بزرگ ترین زیر آرایه ، شرح الگوریتم و کد سی پلاس پلاس

تاریخ نگارش مطلب: 2014/07/28 نویسنده: فرهاد دلیرانی

پیدا کردن بزرگ ترین زیرآرایه در یک آرایه یکی از بهترین سوال ها برای پی بردن به ارزش روش تقسیم و حل است (لینک ویکیپدیا مسئله). در این سوال شما یک آرایه (مجموعه) دارید و می خواهید بزرگ ترین زیرآرایه را در آن پیدا کنید.

بزرگ ترین زیر آرایه – maximum sub array

ابتدا بگذارید مفهوم زیر آرایه را بیان کنیم : زیر آرایه بخشی از آرایه است که تمام اجزای آن پشت سر هم آمده اند. برای مثال آرایه زیر را در نظر بگیرید :

-۱۰ , ۲ , ۳ , -۲ , ۶ , -۴ , ۶ , ۸ , -۴ , ۴ , -۵۰ , -۹

تعدادی از زیر آرایه ها آرایه بالا این ها می شوند:

-۱۰ , ۲ , ۳

-۴ , ۴ , ۴ , -۵۰

-۹

۶ , ۸ , -۴ , ۴

الگوریتم شما چیست ؟ اولین الگوریتمی که به ذهن بیشتر افراد می رسد پیدا کردن تمام زیر آرایه ها است این الگوریتم هزینه اش از مرتبه n^2 است .ولی ما در این پست الگوریتمی را بر مبنای روش تقسیم و حل ( divide and conquer ) ارایه می دهیم که از مرتبه n*log n است.

الگوریتم پیدا کردن بزرگ ترین زیر آرایه با استفاده از روش تقسیم و حل (Divide and conquer) :

هر آرایه ای با هر تعداد عضوی دارای این سه مشخصه است یکی خانه آغاز آرایه (Low) و یکی هم خانه ی آخر آرایه (High) و دیگر هم خانه ی وسط (Mid) آرایه که در عکس زیر آن ها را مشخص کرده ام :

همین طور که در شکل بالا می بینید هر زیر آرایه حتما در یکی از این سه مکان قرار می گیرد :

۱- زیر آرایه ای که کلا در قسمت چپ Mid است که با رنگ سبز مشخص شده است.

۲- زیر آرایه ای که کلا در سمت راست Mid است که با زنگ قهوه ای مشخص شده است.

۳ – زیر آرایه ای که از Mid می گذرد و بخشی از آن در سمت راست Mid قرار دارد و بخشی از آن در سمت چپ Mid قرار دارد که با رنگ آبی مشخص شده است.

پیدا کردن بزرگ ترین زیر آرایه ای که جز قسمت سوم است بسیار آسان است و می توان آن را با تابع ای با هزینه ی n به دست آورد.

از آنجایی که توابع ما سه مقدار : خانه آغاز زیر آرایه ، خانه پایان زیر آرایه و مجموع اعضای زیر آرایه را باید بر گرداند من کلاس زیر را تعریف کرده ام:

class arrayInformation
{
public:
	int sum;//sum of sub array element
	int low;//sub array start location
	int high;//sub array end location
};

class arrayInformation

{

public:

int sum;//sum of sub array element

int low;//sub array start location

int high;//sub array end location

};

ابتدا کد این تابع را در ببینید تا آن را را تو ضیح دهیم :

//find max crossing subarray
arrayInformation find_max_crossing_subarray(int *arr, int n, int low, int mid, int high)
{
	arrayInformation myarry;
	int leftSum = -2000000000;
	int rightSum = -2000000000;
	int sum = 0;

	for (int i = mid; i >= low; i--)
	{
		sum += arr[i];
		if (sum > leftSum)
		{
			leftSum = sum;
			myarry.low = i;
		}
	}
	sum = 0;
	for (int i = mid+1; i <= high; i++)
	{
		sum += arr[i];
		if (sum > rightSum)
		{
			rightSum = sum;
			myarry.high = i;
		}
	}
	myarry.sum = rightSum + leftSum;
	
	return myarry;
}

//find max crossing subarray

arrayInformation find_max_crossing_subarray(int *arr, int n, int low, int mid, int high)

{

arrayInformation myarry;

int leftSum = -2000000000;

int rightSum = -2000000000;

int sum = 0;

for (int i = mid; i >= low; i--)

{

sum += arr[i];

if (sum > leftSum)

{

leftSum = sum;

myarry.low = i;

}

sum = 0;

for (int i = mid+1; i <= high; i++)

{

sum += arr[i];

if (sum > rightSum)

{

rightSum = sum;

myarry.high = i;

}

myarry.sum = rightSum + leftSum;

return myarry;

}

کد بالا تابع find_max_crossing_subarray است که قرار است بزرگترین زیر آرایه ای را که از Mid می گذرد پیدا کند.

آرگومان ها :

int *arr : آرایه است که قرار است پردازش روی آن انجام شود و به صورت pointer به تابع فرستاده شده است.

int n: تعداد اعضای آرایه arr است.

int low: نقطه آغاز آرایه ای است که می خواهیم بزرگ ترین زیر دامنه ی آن را که از مرکز آن می گذرد پیدا کنیم.

int mid : نقطه وسط آرایه ای است که می خواهیم بزرگ ترین زیر دامنه ی آن را که از مرکز آن می گذرد پیدا کنیم.

int high:نقطه آخر آرایه ای است که می خواهیم بزرگ ترین زیر دامنه ی آن را که از مرکز آن می گذرد پیدا کنیم.

حلقه ی for اول قسمت چپ زیر آرایه که از مرکز می گذرد را پیدا می کند و مجموع اعضای آن و نقطه ی شروع آن را پیدا می کند.

حلقه ی for دوم قسمت راست زیر آرایه که از مرکز می گذرد را پیدا می کند و مجموع اعضای آن و نقطه ی آخر آن را پیدا می کند.

و بعد مشخص شدن انتها و ابتدای زیر آرایه مورد نظر و مجموع اجزایش آن را در یک شی از کلاس arrayInformation به نام myarray می ریزد و آن را به عنوان خروجی تابع بر می گرداند.

حالا نوبت تابع اصلی برنامه است که برزگ ترین زیر آرایه را بر می گرداند :

arrayInformation find_max_subarray(int *arr, int n, int low, int high)
{
	arrayInformation leftArray;
	arrayInformation rightArray;
	arrayInformation midArray;
	arrayInformation myarray;
	if (low == high)
	{
		myarray.sum = arr[high];
		myarray.low = low;
		myarray.high = high;
	}
	else
	{
		int mid = (low + high) / 2;
		leftArray = find_max_subarray( arr, n, low, mid);
		rightArray = find_max_subarray( arr, n, mid + 1, high);
		midArray = find_max_crossing_subarray( arr, n, low, mid, high);
		
		if (leftArray.sum > rightArray.sum)
		{
			if (leftArray.sum > midArray.sum)
			{
				myarray = leftArray;
			}
			else
			{
				myarray = midArray;
			}
		}
		else
		{
			if (rightArray.sum > midArray.sum)
			{
				myarray = rightArray;
			}
			else
			{
				myarray = midArray;
			}
		}
	}
	return myarray;
}

arrayInformation find_max_subarray(int *arr, int n, int low, int high)

{

arrayInformation leftArray;

arrayInformation rightArray;

arrayInformation midArray;

arrayInformation myarray;

if (low == high)

{

myarray.sum = arr[high];

myarray.low = low;

myarray.high = high;

}

else

{

int mid = (low + high) / 2;

leftArray = find_max_subarray( arr, n, low, mid);

rightArray = find_max_subarray( arr, n, mid + 1, high);

midArray = find_max_crossing_subarray( arr, n, low, mid, high);

if (leftArray.sum > rightArray.sum)

{

if (leftArray.sum > midArray.sum)

{

myarray = leftArray;

}

else

{

myarray = midArray;

}

else

{

if (rightArray.sum > midArray.sum)

{

myarray = rightArray;

}

else

{

myarray = midArray;

}

return myarray;

}

آرگومان ها تابع find_max_subarray :

int *arr : آرایه است که قرار است پردازش روی آن انجام شود و به صورت pointer به تابع فرستاده شده است.

int n: تعداد اعضای آرایه arr است.

int low: نقطه آغاز آرایه ای است که می خواهیم بزرگ ترین زیر دامنه ی آن را پیدا کنیم.

int high:نقطه آخر آرایه ای است که می خواهیم بزرگ ترین زیر دامنه ی آن را پیدا کنیم.

در اول تابع شرطی وجود دارد که شرط پایان فراخوانی بازگشتی است که می گوید اگر Low برابر با High بود یا به عبارتی آرایه که در آن دنبال کوچک ترین زیر آرایه می گردیم کلا یک خانه داشت ، بزرگ ترین زیر آرایه آن خودش است.

اگر شرط برقرار نبود به else می رود و در آن جا دو بار خود find_max_subarray فرا خوانی می شود و یک بار برای سمت چپ Mid یک بار برای سمت راست Mid و یک بار هم تابع find_max_crossing_subarray فراخوانی می شود. همین طور که می بینید مقدار بازگشت شده از سه فراخوانی بالا با هم مقایسه می شود و بزرگ ترین آن ها به عنوان مقدار خروجی find_max_subarray باز گردانده می شود .

در زیر کد برنامه پیدا کردن Maximum subarry را با زبان سی پلاس پلاس همراه با یک مثال فراخوانی می بینید :

// maximum sub array - divide and conquer.cpp : Defines the entry point for the console application.
//
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 

using namespace std;

class arrayInformation
{
public:
	int sum;//sum of sub array element
	int low;//sub array start location
	int high;//sub array end location
};

//find max crossing subarray
arrayInformation find_max_crossing_subarray(int *arr, int n, int low, int mid, int high)
{
	arrayInformation myarry;
	int leftSum = -2000000000;
	int rightSum = -2000000000;
	int sum = 0;

	for (int i = mid; i >= low; i--)
	{
		sum += arr[i];
		if (sum > leftSum)
		{
			leftSum = sum;
			myarry.low = i;
		}
	}
	sum = 0;
	for (int i = mid+1; i <= high; i++)
	{
		sum += arr[i];
		if (sum > rightSum)
		{
			rightSum = sum;
			myarry.high = i;
		}
	}
	myarry.sum = rightSum + leftSum;
	
	return myarry;
}

arrayInformation find_max_subarray(int *arr, int n, int low, int high)
{
	arrayInformation leftArray;
	arrayInformation rightArray;
	arrayInformation midArray;
	arrayInformation myarray;
	if (low == high)
	{
		myarray.sum = arr[high];
		myarray.low = low;
		myarray.high = high;
	}
	else
	{
		int mid = (low + high) / 2;
		leftArray = find_max_subarray( arr, n, low, mid);
		rightArray = find_max_subarray( arr, n, mid + 1, high);
		midArray = find_max_crossing_subarray( arr, n, low, mid, high);
		
		if (leftArray.sum > rightArray.sum)
		{
			if (leftArray.sum > midArray.sum)
			{
				myarray = leftArray;
			}
			else
			{
				myarray = midArray;
			}
		}
		else
		{
			if (rightArray.sum > midArray.sum)
			{
				myarray = rightArray;
			}
			else
			{
				myarray = midArray;
			}
		}
	}
	return myarray;
}
//open-mind.ir
int main()
{
	arrayInformation maximumArray;
	int *arr = new int[9];

	arr[0] = 0;
	arr[1] = 5;
	arr[2] = 6;
	arr[3] = -100;
	arr[4] = 20;
	arr[5] = 15;
	arr[6] = -2;
	arr[7] = -50;
	arr[8] = 10;
	
	maximumArray = find_max_subarray(arr, 8, 0, 8);
	cout << "array start at: " << maximumArray.low << endl;
	cout << "array end at  : " << maximumArray.high << endl;
	cout << "array sum     : " << maximumArray.sum << endl;
	return 0;
}

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

// maximum sub array - divide and conquer.cpp : Defines the entry point for the console application.

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

using namespace std;

class arrayInformation

{

public:

int sum;//sum of sub array element

int low;//sub array start location

int high;//sub array end location

};

//find max crossing subarray

arrayInformation find_max_crossing_subarray(int *arr, int n, int low, int mid, int high)

{

arrayInformation myarry;

int leftSum = -2000000000;

int rightSum = -2000000000;

int sum = 0;

for (int i = mid; i >= low; i--)

{

sum += arr[i];

if (sum > leftSum)

{

leftSum = sum;

myarry.low = i;

}

sum = 0;

for (int i = mid+1; i <= high; i++)

{

sum += arr[i];

if (sum > rightSum)

{

rightSum = sum;

myarry.high = i;

}

myarry.sum = rightSum + leftSum;

return myarry;

}

arrayInformation find_max_subarray(int *arr, int n, int low, int high)

{

arrayInformation leftArray;

arrayInformation rightArray;

arrayInformation midArray;

arrayInformation myarray;

if (low == high)

{

myarray.sum = arr[high];

myarray.low = low;

myarray.high = high;

}

else

{

int mid = (low + high) / 2;

leftArray = find_max_subarray( arr, n, low, mid);

rightArray = find_max_subarray( arr, n, mid + 1, high);

midArray = find_max_crossing_subarray( arr, n, low, mid, high);

if (leftArray.sum > rightArray.sum)

{

if (leftArray.sum > midArray.sum)

{

myarray = leftArray;

}

else

{

myarray = midArray;

}

else

{

if (rightArray.sum > midArray.sum)

{

myarray = rightArray;

}

else

{

myarray = midArray;

}

return myarray;

}

//open-mind.ir

int main()

{

arrayInformation maximumArray;

int *arr = new int[9];

arr[0] = 0;

arr[1] = 5;

arr[2] = 6;

arr[3] = -100;

arr[4] = 20;

arr[5] = 15;

arr[6] = -2;

arr[7] = -50;

arr[8] = 10;

maximumArray = find_max_subarray(arr, 8, 0, 8);

cout << "array start at: " << maximumArray.low << endl;

cout << "array end at : " << maximumArray.high << endl;

cout << "array sum : " << maximumArray.sum << endl;

return 0;

}

اگر الگوریتم دیگری دارید یا این برنامه را با زبان دیگر نوشته اید کدتان را برای ما ارسال کنید.

+ کد جدید :

// maximum subarray.cpp : Defines the entry point for the console application.

//#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <iterator>
#include <vector>
#include <list>
#include <cmath>
#include <numeric>
#include <limits>

using namespace std;

//this structure hold pointers to start and end of intervals
//and sum of element of intervals
template<typename Iter, typename Element>
struct intervals
{
	Iter beginOfIntervals;      //pointer to begin of interval
	Iter endOfIntervals;        //pointer to end of interval
	Element   sumOfIntervals;   //hold sum of elements of interval
};


//find maximum subarray that cross the mid of array
template<typename InputIter, typename Element>
intervals<InputIter, Element> Find_Max_Crossing_SubArray(
	InputIter low, InputIter mid,InputIter high, Element Init)
{
	//claculate the left side of maximum  crossing subarray
	Element sum = 0;
	intervals<InputIter, Element> leftSum;
	leftSum.sumOfIntervals = numeric_limits<Element>::min();

	InputIter i = mid;

	while(true)
	{
		sum += *i;
		if (sum > leftSum.sumOfIntervals)
		{
			leftSum.sumOfIntervals = sum;
			leftSum.beginOfIntervals = i;
		}

		if(low != i)
		{
            i--;
		}
		else
        {
            break;
        }
	}

	//claculate the right side of maximum  crossing subarray
	sum = Init;
	intervals<InputIter, Element> rightSum;
	rightSum.sumOfIntervals =  numeric_limits<Element>::min();

	i = mid + 1;

	while(true)
	{
		sum += *i;
		if (sum > rightSum.sumOfIntervals)
		{
			rightSum.sumOfIntervals = sum;
			rightSum.endOfIntervals = i;
		}

		if(i != high)
		{
            i++;
		}
		else
        {
            break;
        }
	}


	intervals<InputIter, Element> MaxCrossingArray;
	MaxCrossingArray.beginOfIntervals = leftSum.beginOfIntervals;
	MaxCrossingArray.endOfIntervals = rightSum.endOfIntervals;
	MaxCrossingArray.sumOfIntervals = leftSum.sumOfIntervals + rightSum.sumOfIntervals;

	return MaxCrossingArray;
}


//find maximum subarray of input array
//this function implements a divide and conquer algorithm
//for finding maximum subarray
template<typename InputIter, typename Element>
intervals<InputIter, Element> Find_Max_SubArray(InputIter low, InputIter high, Element Init)
{
    intervals<InputIter, Element> Max_subArray;

    if(low == high)
    {
        Max_subArray.beginOfIntervals = low;
        Max_subArray.endOfIntervals = high;
        Max_subArray.sumOfIntervals = *low;

    }
    else
    {
        InputIter mid =  low + floor(distance(low,high) / 2);
        //recursively calculate maximum subarray in
        //the left side of the array's middle
        intervals<InputIter, Element> left  =
            Find_Max_SubArray(low, mid, 0);
        //recursively calculate maximum subarray in
        //the right side of the array's middle
        intervals<InputIter, Element> righ   =
            Find_Max_SubArray(mid + 1, high, 0);
        //calculate maximum subarray that
        //crosses middle of array
        intervals<InputIter, Element> middle =
            Find_Max_Crossing_SubArray(low, mid, high, 0);

        //these If return maximum subarray among three subarray:
        //left of middle,right of middle, crossing middle of array
        if(left.sumOfIntervals > righ.sumOfIntervals &&
            left.sumOfIntervals > middle.sumOfIntervals)
        {
            Max_subArray = left;
        }
        else
        {
            if(righ.sumOfIntervals > left.sumOfIntervals &&
                righ.sumOfIntervals > middle.sumOfIntervals)
            {
                Max_subArray = righ;
            }
            else
            {
                Max_subArray = middle;
            }
        }

    }

    return (Max_subArray);
}

int main()
{
	vector<int> vecInt = { 13,-3,-25,20,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7 };


    intervals<vector<int>::iterator, int> MaxSubArray = Find_Max_SubArray(
			vecInt.begin()
			, vecInt.end() - 1
            ,0);

    cout << "Array: ";
    for(auto &a: vecInt)
    {
        cout << a << ", ";
    }
    cout << endl;


    //print result
    cout << "Maximum Subarray: ";
    vector<int>::iterator i = MaxSubArray.beginOfIntervals;
    while(true)
    {
        cout << *i << " ,";

        if( i != MaxSubArray.endOfIntervals)
        {
            i++;
        }
        else
        {
            cout << endl;
            break;
        }
    }
    cout << "Sum of maximum subarray: " << MaxSubArray.sumOfIntervals<< endl;
    //

    return 0;
}

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

// maximum subarray.cpp : Defines the entry point for the console application.

//#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <iterator>

#include <vector>

#include <list>

#include <cmath>

#include <numeric>

#include <limits>

using namespace std;

//this structure hold pointers to start and end of intervals

//and sum of element of intervals

template<typename Iter, typename Element>

struct intervals

{

Iter beginOfIntervals; //pointer to begin of interval

Iter endOfIntervals; //pointer to end of interval

Element sumOfIntervals; //hold sum of elements of interval

};

//find maximum subarray that cross the mid of array

template<typename InputIter, typename Element>

intervals<InputIter, Element> Find_Max_Crossing_SubArray(

InputIter low, InputIter mid,InputIter high, Element Init)

{

//claculate the left side of maximum crossing subarray

Element sum = 0;

intervals<InputIter, Element> leftSum;

leftSum.sumOfIntervals = numeric_limits<Element>::min();

InputIter i = mid;

while(true)

{

sum += *i;

if (sum > leftSum.sumOfIntervals)

{

leftSum.sumOfIntervals = sum;

leftSum.beginOfIntervals = i;

}

if(low != i)

{

i--;

}

else

{

break;

}

//claculate the right side of maximum crossing subarray

sum = Init;

intervals<InputIter, Element> rightSum;

rightSum.sumOfIntervals = numeric_limits<Element>::min();

i = mid + 1;

while(true)

{

sum += *i;

if (sum > rightSum.sumOfIntervals)

{

rightSum.sumOfIntervals = sum;

rightSum.endOfIntervals = i;

}

if(i != high)

{

i++;

}

else

{

break;

}

intervals<InputIter, Element> MaxCrossingArray;

MaxCrossingArray.beginOfIntervals = leftSum.beginOfIntervals;

MaxCrossingArray.endOfIntervals = rightSum.endOfIntervals;

MaxCrossingArray.sumOfIntervals = leftSum.sumOfIntervals + rightSum.sumOfIntervals;

return MaxCrossingArray;

}

//find maximum subarray of input array

//this function implements a divide and conquer algorithm

//for finding maximum subarray

template<typename InputIter, typename Element>

intervals<InputIter, Element> Find_Max_SubArray(InputIter low, InputIter high, Element Init)

{

intervals<InputIter, Element> Max_subArray;

if(low == high)

{

Max_subArray.beginOfIntervals = low;

Max_subArray.endOfIntervals = high;

Max_subArray.sumOfIntervals = *low;

}

else

{

InputIter mid = low + floor(distance(low,high) / 2);

//recursively calculate maximum subarray in

//the left side of the array's middle

intervals<InputIter, Element> left =

Find_Max_SubArray(low, mid, 0);

//recursively calculate maximum subarray in

//the right side of the array's middle

intervals<InputIter, Element> righ =

Find_Max_SubArray(mid + 1, high, 0);

//calculate maximum subarray that

//crosses middle of array

intervals<InputIter, Element> middle =

Find_Max_Crossing_SubArray(low, mid, high, 0);

//these If return maximum subarray among three subarray:

//left of middle,right of middle, crossing middle of array

if(left.sumOfIntervals > righ.sumOfIntervals &&

left.sumOfIntervals > middle.sumOfIntervals)

{

Max_subArray = left;

}

else

{

if(righ.sumOfIntervals > left.sumOfIntervals &&

righ.sumOfIntervals > middle.sumOfIntervals)

{

Max_subArray = righ;

}

else

{

Max_subArray = middle;

}

return (Max_subArray);

}

int main()

{

vector<int> vecInt = { 13,-3,-25,20,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7 };

intervals<vector<int>::iterator, int> MaxSubArray = Find_Max_SubArray(

vecInt.begin()

, vecInt.end() - 1

,0);

cout << "Array: ";

for(auto &a: vecInt)

{

cout << a << ", ";

}

cout << endl;

//print result

cout << "Maximum Subarray: ";

vector<int>::iterator i = MaxSubArray.beginOfIntervals;

while(true)

{

cout << *i << " ,";

if( i != MaxSubArray.endOfIntervals)

{

i++;

}

else

{

cout << endl;

break;

}

cout << "Sum of maximum subarray: " << MaxSubArray.sumOfIntervals<< endl;

return 0;

}

تقسیم و حل - Divide and conquer

۹ نظر

پیمان
2018/10/16 در 02:04
سلام
واقعن کارتون فوق العاده اس من خیلی گشتم تا یه جایی رو پیدا کنم که انقد قشنگ و خوب توضیح داده باشه
با اینکه منبع آموزشی زیاده ولی واقعن کیفیت هاشون پایینه و اصلن در این حد نیستت
اگه میشه کد ها رو با زبان جاوا بزارین
بازم ممنون
پاسخ
مهدي
2017/03/10 در 20:15
تشکر فراوان
پاسخ
نیما
2015/07/28 در 13:54
اقا دوست داشتم بازم تشکر کنم
بازم خیلی گلی
پاسخ
- فرهاد دلیرانی
  2015/07/28 در 15:14
  🙂 تشکر اصلا شرمنده کردی مارو – بازم تشکر می کنم بابت لطفت.
  پاسخ
نیما
2015/07/28 در 13:15
اقا فقط بهت میگم خیلی گلی
دستت درد نکنه
پاسخ
نادیا
2014/12/13 در 10:52
سلام
امکان اش هست این برنامه رو با زبان c هم بذارید
ممنون میشم
پاسخ
- فرهاد دلیرانی
  2014/12/21 در 23:44
  تقریبا همین سی پلاس پلاس
  پاسخ
سمیه
2014/11/08 در 22:54
سلام اقای دلیرانی خیلی ازتون ممنونم واقعا این سایت خیلی بهم کمک کرده جواب بیشتر سوالاتم رو از اینجا گرفتم
پاسخ
- فرهاد دلیرانی
  2014/11/09 در 16:27
  خیلی خوشحالم توانستیم کمک کنیم
  پاسخ

پیدا کردن بزرگ ترین زیر آرایه ، شرح الگوریتم و کد سی پلاس پلاس

بزرگ ترین زیر آرایه – maximum sub array

۹ نظر

نظرتان را برای ما بنویسید لغو پاسخ

Pin It on Pinterest

پیدا کردن بزرگ ترین زیر آرایه ، شرح الگوریتم و کد سی پلاس پلاس

بزرگ ترین زیر آرایه – maximum sub array

آموزش های مشابه:

۹ نظر

نظرتان را برای ما بنویسید لغو پاسخ

Pin It on Pinterest